Algèbre linéaire Exemples

$i^{8}$

Étape 1

Réécrivez $i^{8}$ comme ${(i^{4})}^{2}$ .

${(i^{4})}^{2}$

Étape 2

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

${({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Étape 2.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

${({(- 1)}^{2})}^{2}$

Étape 2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1^{2}$

Étape 3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$

Étape 4

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 5

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 6

Remplacez les valeurs réelles de $a = 1$ et $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 1^{2}}$

Étape 7

Déterminez $| z |$ .

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Étape 7.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 1^{2}}$

Étape 7.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| z | = \sqrt{0 + 1}$

Étape 7.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Étape 7.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| z | = 1$

Étape 8

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{0}{1})$

Étape 9

Comme la tangente inverse de $\frac{0}{1}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $0$ .

$θ = 0$

Étape 10

Remplacez les valeurs de $θ = 0$ et $| z | = 1$ .

$\cos (0) + i \sin (0)$